Probleme recente in teoria subvarietatilor

CONTRACT IDEI 1005 nr. 434/1.10.2007

Descriere succinta a proiectului de cercetare

Proiectul abordeaza mai multe directii actuale de cercetare din algebra necomutativa: algebre Hopf si algebre quasi-Hopf, coinele, categorii braided monoidale, module ingemanate, functori involutivi, arbori binari. Obiectivele proiectului sunt:
1. Obtinerea unor rezultate de clasificare pentru algebre Hopf si algebre quasi-Hopf finit dimensionale.
2. Studiul functorilor tare involutivi pe categorii abstracte si obtinerea unor teoreme generale de tip Moore-Penrose.
3. O teorie a coinelelor in categorii braided monoidale ce admit conuclee, cu aplicatii in teoria structurilor ingemanate.
4. Realizarea unui studiu sistematic al modulelor ingemanate in categorii braided monoidale si descrierea acestora ca si categorii de comodule peste un coinel sau ca si categorii de module peste o algebra monoidala.
5. Unificarea rezultatelor obtinute in ceea ce priveste categoriile de module Hopf peste diverse algebre Hopf sau generalizari ale acestora folosind limbajul si tehnicile categoriilor braided monoidale.
6. Folosind limbajul categoriilor braided monoidale, sa gasim conditii necesare si suficiente pentru care structura de algebra data de un produs smash indus de un braiding local si cea de coalgebra data de un coprodus smash (indusa de asemenea de un braiding local) sa ofere unui anumit obiect o structura de bialgebra si, respective, de algebra Hopf in categorie.
7. O K-teorie pentru coalgebre si algebre Hopf.
8. Abordarea unor probleme de combinatorica privind arborii binari cu ajutorul unor structuri algebrice cuantice.

Echipa de cercetare este alcatuita din trei cercetatori cu experienta si doi doctoranzi.
Tematica celor doua teze de doctorat se incadreaza in obiectivele acestui proiect.

Director de proiect

Prof.dr. Constantin Nastasescu, Facultatea de Matematica si Informatica a Universitatii din Bucuresti.

Seminarii de lucru

Data	Titlul seminarului
9.10.2007	Clasificarea algebrelor Hopf finit dimensionale
12.11.2007	Studiul functorilor involutivi
10.12.2007	Conceptului de coinel intr-o categorie monoidala
20.02.2008	Studiul modulelor ingemanate cu ajutorul C-categoriilor
21.04.2008	Clasificarea algebrelor Hopf punctuate
22.05.2008	Deformari ale algebrelor graduate
25.09.2008	Unificarea categoriilor de module Hopf definite peste diferite tipuri de algebra Hopf generalizate
12.11.2008	Studiul unor ecuatii neliniare
19.12.2008	Studiul coactiunilor pe spatii de morfisme
04.02.2009	Studiul algebrelor Hopf co-Frobenius
30.03.2009	Algebre Hopf incrucisate in categorii braided
19.06.2009	Coactiuni de algebre Hopf
24.09.2009	Algebre Hopf de dimensiune finita

Echipa de cercetare a grantului:

Cercetare sprijinita financiar de acest grant:

1. G. Barad, On a remark of Loday about the associahedron and algebraic K-theory, An.St. Univ. Ovidius Constanta vol.16 (1), 5-18, 2008.
2. M. C. Iovanov, C. Nastasescu, J. B. Torrecillas, The Dickson subcategory splitting conjecture for pseudocompact algebras, J. Algebra 320 , 2144-2155, 2008.
3. G. Barad, Finding Eulerian cycle decompositions and the rotation distance between binary trees, Bull. Math. Soc. Sci. Math. Roumanie, Tome 51(99), no 1, 21-38, 2008.
4. S. Dascalescu, Group gradings on diagonal algebras, Arch. Math. 91, No. 3, 212-217 (2008).
5. M. Beattie, D. Bulacu, Braided Hopf algebras obtained from coquasitriangular Hopf algebras, Commun. Math. Phys. 282, 115-160, 2008.
6. F. I. Castano, N. Chifan, C. Nastasescu, Localization on certain Grothendieck categories, Acta Mathematica Sinica, English Series Vol. 25, No. 3, 379-392, 2009.
7. S. Dascalescu, C. Nastasescu, M. Nastasescu, Strongly involutory functors, Commun. Algebra 37, No. 5, 1677-1689, 2009.
8. L. Daus, C. Nastasescu, F. Van Oystaeyen, V-Categories: Applications to Graded Rings, Commun. Algebra 37, No. 9, 3248 - 3258, 2009.
9. M. Beattie, D. Bulacu, On the Antipode of a Co-Frobenius (Co)Quasitriangular Hopf Algebra, Commun. Algebra 37, No. 9, 2981 - 2993, 2009.
10. D. Bulacu, S. Caenepeel, J. B. Torrecillas, Involutory quasi-Hopf algebras, Algebr. Represent. Theory 12, No. 2-5, 257-285, 2009.
11. G. Barad, A nonlinear equation which unify the quantum Yang-Baxter equation and the Pentagonal equation. A Hopf algebra approach, acceptata spre publicare in Bull. Math. Soc. Sci. Math. Roumanie, 2009.

In iunie 2008 G. Barad a obtinut titlul de doctor in matematica la U.B. cu teza "Transformari locale de structuri : flipuri triangulare, rotatii de arbori binari si obstructii combinatoriale de sortare", coordonator Prof. C. Nastasescu.

Raportari

Evaluari anuale: 2007, 2008, 2009, 2010
Sinteza lucrarii: 2007, 2008, 2009, 2010
Monitorizare 06.05.2010

Titlul proiectului: PROBLEME RECENTE IN TEORIA SUBVARIETATILOR

Tipul proiectului: Proiecte de cercetare pentru tineri cercetatori

Echipa de cercetare a FMI este formata din:

Director de proiect:
Asist.dr. Adela Mihai

Assist.prof.dr. Bogdan Suceava ()
Prep.drd. Valentin Ghisoiu
Drd. Simona Decu ()

Tema face parte din Programul National de Cercetare de Excelenta (CEEX 2005) Modulul II - Proiecte de Dezvoltare a Resurselor Umane pentru Cercetare.

Teoria invariantilor Chen a fost initiata de B.-Y. Chen in 1993. Prima inegalitate a lui Chen furnizeaza o noua conditie necesara ca o varietate riemanniana sa admita o imersie minimala intr-un spatiu euclidian. Ulterior, el a introdus "Δ"-invariantii, cunoscuti azi ca invariantii Chen si a demonstrat inegalitati optime pentru acestia (invarianti intrinseci) in functie de principalul invariant extrinsec (curbura medie).

Mai tarziu s-au obtinut inegalitati de tip Chen si pentru alti invarianti intrinseci, de exemplu: curbura scalara, curbura Ricci, etc.. Aceasta teorie a cunoscut o larga dezvoltare in Belgia, Brazilia, Franta, Japonia, Polonia, Romania, SUA, etc..

Ne propunem sa gasim noi aplicatii ale inegalitatilor lui Chen, in particular obstructii topologice si diferentiale la diverse clase de subvarietati in forme spatiale complexe si respectiv Sasaki.

De asemenea vom construi invarianti specifici pentru anumite clase de spatii Riemann, vom obtine estimari optime ale acestora in functie de curbura medie si vom investiga cazul de egalitate.

In particular, vom continua studiul produselor warped in forme spatiale reale si complexe si avem in vedere demonstrarea de inegalitati optime intre invarianti intrinseci (ca de exemplu functia warping) si invarianti extrinseci.

Pentru ca studiul subvarietatilor puternic minimale in forme spatiale complexe sa fie complet, este important sa furnizam noi exemple de hipersuprafete complexe ce satisfac global conditia de minimalitate puternica. In prezent nu exista nici un articol dedicat acestui concept in generalitatea sa. Constructia unor astfel de hipersuprafete de dimensiune mai mare sau egala cu 3 este un alt obiectiv al acestui proiect.